今回は因数分解の基礎問題をたくさん解説していきたいと思います。
中学生、高校生が対象となります。
この33問を繰り返すだけでも定期テストで70点は取れるでしょう。
当ブログは不登校の生徒も応援しています。
基礎なので時間無制限
自信のある人は時間目安60分で解いてみて下さい。
合計得点も出ます
また問題に関する質問は当面の間、コメント欄で受け付けています。
第1問
\[ x^2-4 \]を因数分解して下さい。
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ここでは\(A=x\) \(B=2\)なので
\(x^2-4\)
\(=(x^2-2^2)\)
\(=(x+2)(x-2)\)
第2問
\[ x^2-16 \]を因数分解して下さい。
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ここでは\(A=x\) \(B=4\)なので
\(x^2-16\)
\(x^2-4^2\)
\(=(x+4)(x-4)\)
第3問
\[ a^2-25 \]を因数分解して下さい。
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\(a^2-25\)
\(a^2-5^2\)
\(=(a+5)(a-5)\)
第4問
\[ a^2-36 \]を因数分解して下さい。
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\(a^2-36\)
\(a^2-6^2\)
\(=(a+6)(a-6)\)
第5問
\[ x^2+10x+16 \]を因数分解して下さい。
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足して10かけて16になる二つの数字を探します。
\(2+8=10\) \(2×8=16\)なので
\(x^2+10x+16\)
\(=(x+2)(x+8)\)
これが因数分解の最初の難関です。慣れればすぐ見つけられるようになります。
第6問
\[ x^2+9x+14 \]を因数分解して下さい。
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足して9かけて14になる二つの数字を探します。
\(2+7=9\) \(2×7=14\)なので
\(x^2+9x+14\)
\(=(x+2)(x+7)\)
第7問
\[ x^2-8x+12 \]を因数分解して下さい。
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－になると最初は難しく感じるかもしれません。
\(-2+(-6)=-8\) \(-2×(-6)=12\)なので
\(=x^2-8x+12\)
\(=(x-2)(x-6)\)
第8問
\[ x^2+x-12 \]を因数分解して下さい。
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\(4+(-3)=1\) \(4×(-3)=-12\)なので
\(x^2+x-12\)
\(=(x+4)(x-3)\)
第9問
\[ x^2-9x-22 \]を因数分解して下さい。
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\(2+(-11)=-9\) \(2×(-11)=-22\)なので
\(x^2-9x-22\)
\(=(x+2)(x-11)\)
第10問
\[ x^2+15x+14 \]を因数分解して下さい。
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一見ん。。？なるかもしれませんが
\(1+14=15\) \(1×14=14\)なので
\(x^2+15x+14\)
\((x+1)(x+14)\)
そろそろ慣れてきましたか？頑張っていきましょう！
とにかくやりこめば無敵になります☆
第11問
\[ 3x^2-15 \]を因数分解して下さい。
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\(x\)の前に何かついている時は何か同じものでくくれないか探してみてください。
今回の場合は全体を3でくくります。
\(3x^2-15\)
\(=3(x^2-5)\)
慣れるまで少し難しく感じるかもしれません。
第12問
\[ ax^2-2a \]を因数分解して下さい。
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\(x\)の前に何かついている時は何か同じものでくくれないか探してみてください。
今回の場合は全体をaでくくります。
\(ax^2-2a\)
\(=a(x^2-2)\)
数字でくくる場合も文字でくくる場合も慌てないようにしましょう。
第13問
\[ 4x^2-16 \]を因数分解して下さい。
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今回の場合はまず全体を4でくくります。
\(4x^2-16\)
\(=4(x^2-4)\)
ここで\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
よって
\(4(x^2-4)\)
\(4(x+2)(x-2)\)
第14問
\[ 4x^2-4 \]を因数分解して下さい。
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まず4でくくります。
\(4x^2-4\)
\(=4(x^2-1)\)
ここで\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
\(4(x^2-1)\)
\(=4(x+1)(x-1)\)
第15問
\[ 5x^2-50 \]を因数分解して下さい。
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まず5でくくります。
\(5x^2-50\)
\(=5(x^2-25)\)
\(=5(x+5)(x-5)\)
第16問
\[ 3x^2-15x+3 \]を因数分解して下さい。
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3つなっても焦る時間じゃないです。\(x\)の前に数字があったら何か同じものでくくれないか考えましょう。
今回も場合は全体を3でくくります。
\(3x^2-15x+3\)
\(=3(x^2-5x+1)\)
第17問
\[ ax^2-3ax+5a \]を因数分解して下さい。
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全体をaでくくります。
\(ax^2-3ax+5a\)
\(=a(x^2-3x+5)\)
第18問
\[ 2x^2-10x+12 \]を因数分解して下さい。
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全体を2でくくります。
\(2x^2-10x+12\)
\(=2(x^2-5x+6)\)
ここで\(x^2-5x+6\)をさらに因数分解します。
足して\(-5\)かけて\(6\)になる数字を探します。
\(-2+(-3)=-5\) \(-2×(-3)=6\)なので
\(2(x^2-5x+6)\)
\(=2(x-2)(x-3)\)
今回のように二段階で因数分解する場合もあるので、まだ因数分解できないかを注意してみるようにしましょう。
第19問
\[ 3x^2+21x+30 \]を因数分解して下さい。
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これも全体を3でくくってからさらに因数分解をします。
\(3x^2+21x+30\)
\(=3(x^2+7x+10)\)
\(=3(x+2)(x+5)\)
第20問
\[ 5ax^2-25ax+20a \]を因数分解して下さい。
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まず全体を\(5a\)でくくります。
\(5ax^2-25ax+20a\)
\(=5a(x^2-5x+4)\)
\(=5a(x-1)(x-4)\)
だいぶ因数分解に慣れてきたのではないでしょうか？
その調子です！
第21問
\[ 9x^2-16 \]を因数分解して下さい。
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これは
\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
ここでは\(A=3x\) \(B=4\)
なので
\(9x^2-16\)
\(=(3x+4)(3x-4)\)
第22問
\[ 16x^2-25 \]を因数分解して下さい。
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これも
\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
\(16x^2-25\)
\(=(4x+5)(4x-5)\)
第23問
\[ x^3-8 \]を因数分解して下さい。
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3乗がはじめて出てきましたね！
公式\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)
を使います。
ここでは\(A=x\)
\(8=2^3\)なので\(B=2\)となります。
よって
\(x^3-8\)
\(=x^3-2^3\)
\(=(x-2)(x^2+2x+4)\)
となります。
\(AB=x×2=2x\)
\(B^2=2^2=4\)
になることがわかれば解決に近づきます。
第24問
\[ x^3-27 \]を因数分解して下さい。
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これも
公式\(A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\)
を使います。
ここでは\(A=x\) \(B=3\)です。
また\(AB=x×3=3x\) \(B^2=3^2=9\)
です。
よって
\(x^3-27\)
\(=x^3-3^3\)
\(=(x-3)(x^2+3x+9)\)
第25問
\[ x^3+8 \]を因数分解して下さい。
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今度＋になったので
公式\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)
を使います。
ここで\(A=x\) \(B=2\)なので
\(AB=2x B=4\)
よって
\(x^3+8\)
\(=x^3+2^3\)
\((x+2)(x^2-2x+4)\)
第26問
\[ x^3+64 \]を因数分解して下さい。
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今回も公式\(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\)
を使います。
ここでは\(A=x B＝4\)なので
\(x^3+64\)
\(=(x+4)(x^2-4x+4^2)\)
\(=(x+4)(x^2-4x+16)\)
第27問
\[ 3x^2-5x-2 \]を因数分解して下さい。
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いよいよたすき掛けです。
落ち着いてゆっくりいきましょう。
まずかけて\(3\)になるものを探します。
\(1 \longrightarrow \)
\(\times\)
\(3 \longrightarrow \)
\(------------\)
\(3 \)
次にかけて-2になるものを探します。
\(1 -2\longrightarrow \)
\(\times\)
\(3 1\longrightarrow \)
\(------------\)
\(3 -2 \)
それぞれ斜め同士をかけます。
\(1 -2\longrightarrow -6\)
\(\times\)
\(3 1\longrightarrow 1\)
\(------------\)
\(3 -2 \)
一番右の\(-6+1=-5\)をします。
\(1 -2\longrightarrow -6\)
\(\times\)
\(3 1\longrightarrow 1\)
\(------------\)
\(3 -2 -5\)
これが\(3x^2-5x-2\)の\(-5\)になれば完了です
\(1 -2\longrightarrow\)
を\(x-2\)
\(3 1\longrightarrow\)
を\(3x+1\)と記述します。
よって
\(3x^2-5x-2\)
\(=(x-2)(3x+1)\)
となります。
慣れるまで大変ですが、同じ問題でもいいので繰り返しやりこむことが大切です！
第28問
\[ 2x^2+11x+12 \]を因数分解して下さい。
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これもたすき掛けです。
落ち着いてゆっくりいきましょう。
まずかけて\(2\)になるものを探します。
\(1 \longrightarrow \)
\(\times\)
\(2 \longrightarrow \)
\(------------\)
\(2 \)
次にかけて12になるものを探します。
\(1 4\longrightarrow \)
\(\times\)
\(2 3\longrightarrow \)
\(------------\)
\(2 12 \)
それぞれ斜め同士をかけます。
\(1 4\longrightarrow 8\)
\(\times\)
\(2 3\longrightarrow 3\)
\(------------\)
\(2 12 \)
一番右の\(8+3=11\)をします。
\(1 4\longrightarrow 8\)
\(\times\)
\(2 3\longrightarrow 3\)
\(------------\)
\(2 12 11\)
これが\(2x^2+11x+12\)の\(11\)になれば完了です
\(1 4\longrightarrow\)
を\(x+4\)
\(2 3\longrightarrow\)
を\(2x+3\)と記述します。
よって
\(2x^2+11x+12\)
\(=(x+4)(2x+3)\)
となります。
第29問
\[ 3x^2+10x-8 \]を因数分解して下さい。
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たすき掛けを利用します。
\(1 4\longrightarrow 12\)
\(\times\)
\(3 -2\longrightarrow -2\)
\(------------\)
\(3 -8 10\)
よって
\(3x^2+10x-8\)
\(=(x+4)(3x-2)\)
となります。
第30問
\[ -2x^2-7x+4 \]を因数分解して下さい。
答え 解説を見る
たすき掛けを利用します。
\(1 4\longrightarrow -8\)
\(\times\)
\(-2 1\longrightarrow 1\)
\(------------\)
\(-2 4 -7\)
よって
\(-2x^2-7x+4\)
\(=(x+4)(-2x+1)\)
となります。
第31問
\[ 16x^4-1 \]を因数分解して下さい。
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\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
\(16x^4=(4x^2)^2\)
\(1^4=(1^2)^2\)
になることがわかれば解決へと近づきます。
よって
\(16x^4-1\)
\(=(4x^2)^2-(1^2)^2\)
\(=(4x^2+1^2)(4x^2-1^2)\)
再び\(4x^2-1\)に
\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を使います。
従って
\((4x^2+1^2)(4x^2-1^2)\)
\(=(4x^2+1)(2x+1)(2x-1)\)
となります。
第32問
\[ x^4-1 \]を因数分解して下さい。
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この問題も
\(A^2-B^2=(A+B)(A-B)\)の公式を2回使います。
\(x^4-1\)
\(=(x^2+1)(x^2-1)\)
\(=(x^2+1)(x+1)(x-1)\)
となります。
第33問
\[ (x+2)^2+4(x+2)+3 \]を因数分解して下さい。
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ラストの問題です！
本当によく頑張りました。あなたは神です。
\(A=x+2\)とおきます。
よって
\((x+2)^2+4(x+2)+3\)
\(=A^2+4A+3\)
\(=(A+1)(A+3)\)
\(=(x+2+1)(x+2+3)\)
\(=(x+3)(x+5)\)
となります。
ここまで何回も繰り返したあなたは天才です。
定期テスト、模試など自信をもって取り組んで下さい！